06-线性代数,向量基础

向量？

概述：

一个有方向，有大小的东西（在数学或物理场景中出现）

向量的表示

向量的长度（模）与单位向量

向量的运算

1.向量加法

2.向量点乘（标量积）

(1) 向量点乘定义一致性证明

(2) 向量点乘运算性质

(3) 向量点乘的应用1: 计算向量a在b上的投影向量

(4) 向量点乘的应用2: 判断两个向量是否同向

2.向量叉乘（向量积）

三维向量的几何意义

1. 两个向量叉乘可以产生垂直于他们的法向量，方向满足右手法制

证明：
将叉乘结果与向量a点乘，结果为0则向量积与向量a垂直；同理，将向量积点乘向量b，通过结果是否为0判断是否垂直

2. 向量积的长度等于两个向量的长度的乘积乘以夹角正弦值

证明：
叉乘结果取模，进行平方操作

等式右侧加上，再减去

于是得到如下：

由向量点乘可知：

最终可得到:

向量几何意义的应用1：计算三角形面积

向量几何意义的应用2：判断点是否在三角形内部